PRODUCTO Y COCIENTE

f004

MATE 1 | MATE 2 | MATE 3 | DICCIONARIO | ÁLGEBRA ELEMENTAL

MATE 4: MONOMIOS Y POLINOMIOS

PRODUCTOS Y COCIENTES

CONTENIDO

< Números decimales

< Fracciones

< Sistemas de ecuaciones. Sustitución

< Suma y resta algebraicas

< Producto y cociente

< Diccionario de Matemáticas

< Álgebra elemental, cuestionarios

001. Efectúa los cocientes DE MONOMIOS indicados.

002. Expresa las áreas de las figuras.

003. Expresar las áreas de las figuras, simplificando el resultado.

004. Efectúa los siguientes productos de monomios indicados.

005. Efectúa los siguientes productos de un monomio por un polinomio.

006. Efectúa los siguientes productos. Los exponentes m y n representan cualquier número entero positivo.

007. Escribe en forma de polinomio las áreas de las figuras y realiza las operaciones correspondientes.

008. Escribe en forma de polinomio las áreas de las figuras y simplifica el resultado.

009. Efectúa los productos en columna indicados.

010. Aplica la propiedad distributiva al siguiente producto de binomios. (a + 2)(b + 3) =

011. Aplica la propiedad distributiva al siguiente producto de binomios. (5x²+3x)(2x+1) =

012. Efectúa los siguientes productos de binomios en renglón.

013. Efectúa los siguientes productos de binomios en columna.

014. Efectúa los siguientes productos de polinomios en columna. a), b)

015. Efectúa los siguientes productos de polinomios en columna. c), d)

016. Expresa con un polinomio el área total del paralelepípedo.

017. División de monomios.

018. División de polinomios entre monomios.

019. Encuentra la altura del triángulo cuya área es 30w³y⁶.

020. Calcula la base del rectángulo mayor, la altura es 5xy ...

021. Calcula el perímetro del exágono regular.

022. División de polinomios.

023. Efectúa la división de polinomios.

024. Calcula la base del rectángulo.

025. Calcula la base del rectángulo (2).

026. Haz lo que se pide.

027. Operaciones con exponentes.

028. Efectúa las operaciones de acuerdo con los valores de A, B y C.

029. Efectúa las operaciones de acuerdo con los valores de A, B y C. (2)

030. Efectúa las siguientes divisiones

PREGUNTA: 001

Efectúa los cocientes indicados.

Escribe cada división como una sola potencia.

Si resultan exponentes negativos, pasarlos a positivos.

SOLUCIÓN:

Para dividir dos monomios, SE RESTAN los exponentes de las literales iguales.

PROCESO

▲

PREGUNTA: 002

Expresar las áreas de las figuras.

Aplica las operaciones con exponentes.

SOLUCIÓN:

a) A = x³

b) A = a³b²

PROCESO

Fórmula para calcular el área de un rectángulo.

A = b h

Sustitución de valores en la fórmula.

A = x²(x)

A = x³

Fórmula para calcular el área de un triángulo.

A = bh

A = (2a²b)(ab)

A = 2a³b²

A = a³b²

▲

PREGUNTA: 003

Expresar las áreas de las figuras 4 y 5.

Aplica las operaciones con exponentes.

SOLUCIÓN:

a) A = x⁴y⁶z²

b) A = u⁵v³w

PROCESO

Fórmula para calcular el área de un cuadrado.

A = b²

Sustitución de valores en la fórmula.

A = (x²y³z)²

A = x⁴y⁶z²

Fórmula para calcular el área de un triángulo.

A = bh

A = (u³v²w) (2u²v)

A = 2u⁵v³w

A = u⁵v³w

▲

PREGUNTA: 004

Multiplicación de monomios y polinomios.

Efectúa los siguientes productos de monomios indicados.

SOLUCIÓN:

Para multiplicar literales iguales, se suman sus exponentes.

PROCESO

a) (3x⁴)(11x⁵)	b) (16y⁸)(y⁴)
c) (12a²b)(3a²b)	d) (5x³y⁴)(5x³y⁴)
e) (4z⁵w)(3w)	f) (6ab)(5cd)

a) (3)(11)(x⁴)(x⁵) = 33x⁹	b) 16y¹²
c) 36a⁴b²	d) 25x⁶y⁸
e) 12z⁵w²	f) 30abcd

▲

PREGUNTA: 005

Efectúa los siguientes productos de un monomio por un polinomio

SOLUCIÓN:

Se multiplica el monomio por cada término del polinomio.

PROCESO

a) x²(3x + 2)

b) 2x³(x² + 2x)

c) 5x²y(x² + 3x)

d) 2a(a² - 2a + 1)

e) 3u⁴(u³ - 3u² + 4u - 5)

f) 5t⁶(t²r² - 2tr + 5)

a) 3x³ + 2x²

b) 2x⁵ + 4x⁴

c) 5x⁴y+ 15x³y

d) 2a³ - 4a² + 2a

e) 3u⁷ - 9u⁶ + 12u⁵ - 15u⁴

f) 5t⁸r² - 10t⁷r + 25t⁶

▲

PREGUNTA: 006

Efectúa los siguientes productos. Los exponentes m y n representan cualquier número entero positivo.

SOLUCIÓN:

Para multiplicar literales iguales, se suman sus exponentes, aunque uno de ellos sea una literal.

PROCESO

a) xⁿ(x² + x)

b) 2x(3xⁿ - 3x - 3)

c) axⁿ(bx^m+ cx + d)

a) xⁿ⁺² + xⁿ⁺¹

b) 6x¹⁺ⁿ - 6x² - 6x

c) abx^n+m + acxⁿ⁺¹ + adxⁿ

▲

PREGUNTA: 007

Escribe en forma de polinomio las áreas de las figuras y realiza las operaciones correspondientes.

SOLUCIÓN:

a) A = 25u¹²

b) A = 12x⁷y³ + 8x⁶y²

PROCESO

Fórmula para calcular el área de un cuadrado.

A = b²

Sustitución de valores.

A = (5u⁶)²

A = 25u¹²

Fórmula para calcular el área de un rectángulo.

A = b h

Sustitución de valores en la fórmula.

A = (3x²y² + 2xy) (4x⁵y)

A = 12x⁷y³ + 8x⁶y²

▲

PREGUNTA: 008

Escribe en forma de polinomio las áreas de las figuras 3 y 4. Después realiza las operaciones correspondientes.

SOLUCIÓN:

a) A = 4a³b² + 3a²b³

b) A = 3.14(x²+y²)²

PROCESO

Fórmula para calcular el área de un triángulo.

A = b h

Sustitución de valores.

A = (4a²b + 3ab²) (ab)

A = 4a³b² + 3a²b³

Fórmula para calcular el área de un círculo.

A = ∏ r²

Sustitución de valores en la fórmula.

∏ = 3.14

A = 3.14(x²+y²)²

No se desarrolla el binomio al cuadrado para no hacer el resultado más complicado.

▲

PREGUNTA: 009

Efectúa los productos en columna indicados.

SOLUCIÓN:

El multiplicador, la expresión de abajo, multiplica a cada término del multiplicando.

Se empieza por el primer término de la izquierda en c) y d).

PROCESO

a) 8x⁴ b) -4a²b⁴

x - 2x² x -2a²b

c) 3a² - 5a³ d) x³y² + 2xy⁴

x - 2a² x - 3x²y

e) 4a²b - 7ab² + 5a⁴ - 8

x 3a³b²

a) 8x⁴ b) -4a²b⁴

x - 2x² x -2a²b

-16x⁶ 8a⁴b⁵

c) 3a² - 5a³ d) x³y² + 2xy⁴

x - 2a² x - 3x²y

-6a⁴+10a⁵ -3x⁵y³ - 6x³y⁵

e) 4a²b - 7ab² + 5a⁴ - 8

x 3a³b²

12a⁵b³ -21a⁴b⁴+15a⁷b²-24a³b²

▲

PREGUNTA: 010

Aplica la propiedad distributiva al siguiente producto de binomios.

Si aparecen términos semejantes en el resultado, reducirlos.

SOLUCIÓN:

Propiedad distributiva. El primer término del primer binomio se multiplica por el segundo binomio, luego el segundo término del primer binomio se multiplica por el segundo binomio.

PROCESO

(a + 2)(b + 3) =

El primer término del primer binomio se multiplica por el segundo binomio.

a(b + 3) =

Luego se suma, el segundo término del primer binomio por el segundo binomio.

2(b + 3) =

(a + 2)(b + 3) =

a(b + 3) + 2(b + 3) =

ab + 3a + 2b + 6

No hay términos semejantes.

▲

PREGUNTA: 011

Aplica la propiedad distributiva al siguiente producto de binomios. (5x²+3x)(2x+1) =

Si aparecen términos semejantes en el resultado, reducirlos.

SOLUCIÓN:

Propiedad distributiva. El primer término del primer binomio se multiplica por el segundo binomio, luego el segundo término del primer binomio se multiplica por el segundo binomio.

PROCESO

(5x²+3x)(2x+1) =

El primer término del primer binomio se multiplica por el segundo binomio.

5x²(2x+1) =

Luego se suma, el segundo término del primer binomio por el segundo binomio.

3x(2x+1) =

(5x²+3x)(2x+1) =

= 5x²(2x+1) + 3x(2x+1)

= 10x³+5x²+6x²+3x

= 10x³+11x²+3x

▲

PREGUNTA: 012

Efectúa los siguientes productos de binomios en renglón.

Si aparecen términos semejantes en el resultado, reducirlos.

SOLUCIÓN:

Propiedad distributiva. El primer término del primer binomio se multiplica por el segundo binomio, luego el segundo término del primer binomio se multiplica por el segundo binomio.

PROCESO

a) (x + y)(x + z) =

b) (x + y)(z + w) =

c) (2x + 1)(x + 2) =

d) (3x - 4)(4x + 3) =

e) (x - 2)(x + 2) =

f) (2x - 3)(2x - 3) =

a) (x + y)(x + z) = x² + xz + xy + yz

b) (x + y)(z + w) = xz + xw + yz + yw

c) (2x + 1)(x + 2) = 2x² + 4x + x + 2

= 2x² + 5x + 2

d) (3x - 4)(4x + 3) = 12x² + 9x - 16x - 12

= 12x² - 7x - 12

e) (x - 2)(x + 2) = x² + 2x - 2x - 4

= x² - 4

f) (2x - 3)(2x - 3) = 4x² - 6x - 6x + 9

= 4x² - 12x + 9

▲

PREGUNTA: 013

Efectúa los siguientes productos de binomios en columna.

Para reducir los términos semejantes de los productos parciales se colocan en la misma columna.

SOLUCIÓN:

El primer término del multiplicador se multiplica por el multiplicando, luego el segundo término del multiplicador se multiplica por el multiplicando.

PROCESO

a) 5x - 4 b) 10x² + 5x

x x + 3 x 2x - 3 .

c) 3uv + 6u d) 9x² + 3

x v - 5 . x x² + x .

a) 5x - 4 b) 10x² + 5x

x x + 3 x 2x - 3 .

5x² - 4x 20x³+10x²

15x - 12 -30x²-15x

5x²+9x - 12 20x³-20x²-15x

c) 3uv + 6u

x v - 5 .

3uv²+6uv

-15uv-30u

3uv²- 9uv-30u

d) 9x² + 3

x x² + x .

9x⁴ +3x²

9x³ +3x .

9x⁴+9x³+3x²+3x

▲

PREGUNTA: 014

Efectúa los siguientes productos de polinomios en columna. a), b)

Para reducir los términos semejantes de los productos parciales se colocan en la misma columna.

SOLUCIÓN:

El primer término del multiplicador se multiplica por el multiplicando, luego el segundo término del multiplicador se multiplica por el multiplicando.

PROCESO

a) x² + 2x +1 multiplicando

x x + 1 multiplicador

b) 2a³ + 3a² + 2a

x a - 3 .

a) x² + 2x +1 multiplicando

x x + 1 multiplicador

x³+ 2x² + x productos

x² + 2x + 1 parciales

x³ + 3x² + 3x + 1 suma

b) 2a³ + 3a² + 2a

x a - 3 .

2a⁴ + 3a³ + 2a²

- 6a³ - 9a² - 6a .

2a⁴- 3a³ - 7a² - 6a

▲

PREGUNTA: 015

Efectúa los siguientes productos de polinomios en columna. c), d)

Para reducir los términos semejantes de los productos parciales se colocan en la misma columna.

SOLUCIÓN:

El primer término del multiplicador se multiplica por el multiplicando, luego el segundo término del multiplicador se multiplica por el multiplicando.

PROCESO

c) x³y² + 2x³y - 3xy

x 3xy + 2x .

d) 3a + 4b - 3c

x -2a - 3b + 4c .

c) x³y² + 2x³y - 3xy

x 3xy + 2x .

3x⁴y³+6x⁴y² -9x²y²

2x⁴y²+4x⁴y -6x²y

3x⁴y³+8x⁴y²+4x⁴y-9x²y²-6x²y

d) 3a + 4b - 3c

x -2a - 3b + 4c .

-6a²-8ab +6ac

-9ab -12b²+9bc

+12ac +16bc - 12c²

-6a²-17ab+18ac-12b²+25bc-12c²

▲

PREGUNTA: 016

Expresa con un polinomio el área total del paralelepípedo y efectúa las operaciones indicadas.

SOLUCIÓN:

El área total de una figura es la suma de las áreas parciales.

PROCESO

Tiene 4 rectángulos grandes.

Tiene 2 rectángulos pequeños.

Rectángulos grandes.

A = 3a²b(2ab²)

A = 6a³b³

4A = 4(6a³b³) = 24a³b³

Rectángulos pequeños.

A = 2ab²(2b)

A = 4ab³

2A = 2(4ab³) = 8ab³

Area total.

AT = 24a³b³ + 8ab³

▲

PREGUNTA: 017

División de monomios.

Aplicar la regla de los signos:

+ entre + = +; - entre - = +

+ entre - = - ; - entre + = -

SOLUCIÓN:

Los coeficientes, se dividen o se simplifican. Las literales iguales restan sus exponentes de arriba hacia abajo.

PROCESO

a) 12x⁴

6x²

b) 6u⁶

3u⁴

c) 21t⁹

d) -45a³

9a²

e) a⁴b⁴

-a³b³

f) -5t³s²

-10t⁴s³

Si resultan exponentes negativos se hacen positivos, como en el caso f).

a) 12x⁴₌2x²

      6x²

b) 6u⁶₌2u²

     3u⁴

c) 21t⁹₌ 3t⁸

      7t

d) -45a³= -5a

       9a²

e) a⁴b⁴= -ab

    -a³b³

f) -5t³s² = 1 .

    -10t⁴s³2ts

▲

PREGUNTA: 018

División de polinomios entre monomios.

Aplicar la regla de los signos:

+ entre + = +; - entre - = +

+ entre - = - ; - entre + = -

SOLUCIÓN:

Cada término del polinomio (numerador) se divide entre el monomio (denominador), según las reglas de la división de monomios.

PROCESO

a) x² - 2x

b) 9u⁶ + 6u⁴

3u³

c) a⁴ - 4a³ - 3a²

a²

Si resultan exponentes negativos se hacen positivos.

a) x² - 2x = x² _ 2x = x - 2

        x         x      x

b) 9u⁶ + 6u⁴= 3u³ + 2u

         3u³

c) a⁴ - 4a³ - 3a² = a² - 4a - 3

              a²

▲

PREGUNTA: 019

Encuentra la altura del triángulo cuya área es 30w³y⁶.

SOLUCIÓN:

La altura h mide:

h = 10w²y⁵

PROCESO

Fórmula para calcular el área de un triángulo.

A = b h

Despejamos h.

h = 2 A

Sustitución de valores.

h = 2(30w³y⁶)

6wyz

Operaciones.

h = 60w³y⁶

6wyz

h = 10w²y⁵

▲

PREGUNTA: 020

Calcula la base del rectángulo mayor, la altura es 5xy y las áreas de los rectángulos que lo forman están indicadas.

SOLUCIÓN:

La base B mide:

B = 3x + 4y² + 2x³y + 5y²z

PROCESO

Fórmula para calcular el área de un rectángulo.

A = b h

Despejamos b.

b = A

Sustitución de valores.

1) b = 15x²y = 3x

5xy

2) b = 20xy³ = 4y²

5xy

3) b = 10x⁴y² = 2x³y

5xy

4) b = 25xy³z = 5y²z

5xy

Se suman todos los resultados parciales.

B = 3x + 4y² + 2x³y + 5y²z

▲

PREGUNTA: 021

Calcula el perímetro del exágono regular. Las áreas de cada triángulo son 6a²b³ y las alturas, 3ab.

SOLUCIÓN:

El perímetro p mide.

p = 24ab²

PROCESO

Fórmula para calcular el área de un triángulo.

A = b h

Despejamos b.

b = 2A

Sustitución de valores.

b = 2(6a²b³)

3ab

b = 4ab² medida de cada base

Perímetro.

p = 6(4ab²)

p = 24ab²

▲

PREGUNTA: 022

División de polinomios.

Escribe los términos faltantes indicados por los números entre paréntesis.

SOLUCIÓN:

Siempre que multipliques términos del cociente por términos del divisor, debe cambiarse el signo (para efectuar la reducción).

PROCESO

2x² + (2) + 5 .

x - 7 |2x³ - 11x² - 16x - 35

(1)+ 14x² .

0 + 3x² - 16x

- 3x²+ (3)

0 + 5x - 35

(4) (5)

0 0

(1) Resulta de multiplicar, 2x²⁽x)=2x³, y cambiar el signo.

(2) Resulta de dividir,

3x²= 3x

2x² + 3x + 5 .

x - 7 |2x³ - 11x² - 16x - 35

-2x³+14x² .

0 + 3x² - 16x

- 3x²+21x

0 + 5x - 35

- 5x+35

0 0

3) Resulta de multiplicar,

3x(-7) = - 21x, y cambiar el signo.

4) Resulta de multiplicar,

5(x - 7) = 5x - 35, y cambiar el signo.

- 5x + 35

▲

PREGUNTA: 023

Efectúa la división de polinomios.

SOLUCIÓN:

Siempre que multipliques términos del cociente por términos del divisor, debe cambiarse el signo (para efectuar la reducción).

PROCESO

a) x² - 2x + 1 : x - 1

b) x³ - 2x² + 3x - 2 : x - 1

x - 1 . cociente

x - 1| x² - 2x + 1

-x² + x

0 - x + 1

+ x - 1

0 0 división exacta

x² - x + 2 .

x - 1 | x³ - 2x² + 3x - 2

-x³ + x²

0 - x² + 3x

+ x² - x

0 + 2x - 2

- 2x + 2

0 0

▲

PREGUNTA: 024

Calcula la base del rectángulo. El área se indica dentro de la figura.

SOLUCIÓN:

La base del rectángulo mide:

b = 3x² + 2

PROCESO

3x² + 2 .

x - 7 | 3x³ - 21x² + 2x - 14

-3x³ + 21x²

0 0 + 2x - 14

- 2x + 14

0 0

Fórmula para calcular el área de un rectángulo.

A = b h

Despejamos la base b.

b = A

Sustitución de valores.

b = 3x³ - 21x² + 2x - 14

x - 7

b = 3x² + 2

▲

PREGUNTA: 025

Calcula la base del rectángulo (2). El área se indica dentro de la figura.

SOLUCIÓN:

La base del rectángulo mide:

b = x² + 5x - 1

PROCESO

x² + 5x - 1 .

x + 8 | x³ + 13x² + 39x - 8

-x³ - 8x²

0 5x² + 39x

- 5x² - 40x - 8

0 - x - 8

+ x + 8

0 0

Fórmula para calcular el área de un rectángulo.

A = b h

Despejamos la base b.

b = A

Sustitución de valores.

b = x³ + 13x² + 39x - 8

x + 8

b = x² + 5x - 1

▲

PREGUNTA: 026

Haz lo que se pide.

SOLUCIÓN:

Para comprobar una división: se multiplica cociente por divisor y se suma el residuo.

PROCESO

a) Efectúa la división, 4x³ + 4x² - 23x + 14 entre 2x - 3.

b) En el último renglón debiste obtener + 2, que ya no se puede dividir entre: 2x - 3. En estos casos la división no es exacta y + 2 se llama residuo.

c) Verifica que: cociente por divisor más el residuo, resulta el dividendo. Esta es la comprobación de la división.

a) 2x² + 5x - 4 .

2x - 3 | 4x³ + 4x² - 23x + 14

-4x³ + 6x²

0 + 10x² - 23x

- 10x² + 15x

0 - 8x + 14

+ 8x - 12

0 + 2

b) + 2 es el residuo.

c) (2x - 3)(2x² + 5x - 4) =

4x³ + 10x² - 8x

- 6x² - 15x + 12

4x³ + 4x² - 23x + 12

+ + 2

4x³ + 4x² - 23x + 14 se cumple

▲

PREGUNTA: 027

Operaciones con exponentes.

Efectúa las operaciones indicadas.

SOLUCIÓN:

Para multiplicar bases iguales, se suman sus exponentes.

Para dividir bases iguales, se restan sus exponentes.

Potencia de otra potencia, se multiplican los exponentes.

PROCESO

a) x⁴ x⁶

b) (ab)³(ab)²

c) x⁸ x^-6

d) y^-3 y

e) (a²b³)³

f) z⁴

z³

g) w⁵

w⁷

h) a⁵

a^-2

i) r³ r⁵

r⁴ r⁶

a) = x¹⁰ b) (ab)⁵= a⁵b⁵

c) x²

d) y^-2= 1

y²

e) a⁶b⁹

f) z

g) w^-2= 1

w²

h) a⁷

i) r⁸₌ 1

r¹⁰r²

▲

PREGUNTA: 028

Efectúa las operaciones de acuerdo con los valores de A, B y C.

A = 2x⁴y

B = 6x³y² + 4x⁴y

C = 2x⁴y + 5xy - 7x + 11xy - 4

SOLUCIÓN:

Primero se sustituyen los valores y luego se efectúan las operaciones y las reducciones posibles.

PROCESO

a) A + B

b) A + C

c) B - C

a) (2x⁴y) + (6x³y² + 4x⁴y) =

= 2x⁴y + 6x³y² + 4x⁴y

= 6x⁴y + 6x³y²

b) (2x⁴y ) + (2x⁴y + 5xy - 7x + 11xy - 4 ) =

= 2x⁴y + 2x⁴y + 5xy - 7x + 11xy - 4

= 4x⁴y + 16xy - 7x - 4

c) (6x³y² + 4x⁴y) - (2x⁴y + 5xy - 7x + 11xy - 4)

= 6x³y² + 4x⁴y - 2x⁴y - 5xy + 7x - 11xy +4

= 6x³y²+ 2x⁴y - 16xy + 7x + 4

▲

PREGUNTA: 029

Efectúa las operaciones de acuerdo con los valores de A, B y C. (2)

A = 2x⁴y

B = 6x³y² + 4x⁴y

C = 2x⁴y + 5xy - 7x + 11xy - 4

SOLUCIÓN:

Primero se sustituyen los valores y luego se efectúan las operaciones y las reducciones posibles.

PROCESO

a) A (B) - 12x⁷y³

b) (A)²

c) 3(B - C)

a) (2x⁴y) (6x³y² + 4x⁴y) - 12x⁷y³ =

= 12x⁷y³ + 8x⁸y² - 12x⁷y³

= 8x⁸y²

b) (2x⁴y )² = 4x⁸y²

c) 3[(6x³y² + 4x⁴y) - (2x⁴y + 5xy - 7x + 11xy - 4)]

= 3[6x³y² + 4x⁴y - 2x⁴y - 5xy + 7x - 11xy + 4]

= 3[6x³y²+ 2x⁴y - 16xy + 7x + 4]

= 18x³y²+ 6x⁴y - 48xy + 21x + 12

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PREGUNTA: 030

Efectúa las siguientes divisiones

SOLUCIÓN:

a) 4x⁴ - 8y - 8

b) 3x² + 2x + 5

PROCESO

a) 4x⁵y - 8xy² + 3xy - 11xy

b) 6x⁴ - 5x³ + 4x² - 15x

2x² - 3x

a) = 4x⁴ - 8y + 3 - 11 = 4x⁴ - 8y - 8

b)

             3x² + 2x + 5           .

2x² - 3x |   6x⁴ - 5x³ + 4x² - 15x

              -6x⁴ +9x³

                 0 +4x³ + 4x²

                     - 4x³ + 6x²

                         0 +10x² - 15x

                            - 10x² + 15x

                                0        0

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